Charles M. Cottle

[tucciotrader]

Grazie per la spiegazione

Molti sono tratti in inganno dalle probabilità (0.6 0.4) date dal problema.

Il succo del discorso è questo: il prezzo di un'opzione scambiato sul mercato non dipende dalla distribuzione futura dell'asset.

In questo esempio, la distribuzione futura era perfettamente caratterizzata (101 con 0.6, 99 con 0.4), il prezzo dell'opzione tuttavia è indipendente da tale fatto, e non potrebbe essere altrimenti, visto che nessuno ha la sfera di cristallo.

 

[tucciotrader]

Riporto la risposta dettagliata:

PREMESSA: se non si è interessati al discorso logico che porta al calcolo, per la risposta andare direttamente alle ultime sei righe del post.


In finanza il prezzo di qualsiasi contratto è sempre il valore attuale del payoff atteso. Questo significa che il prezzo teorico è la risposta alla domanda “data una certa aspettativa su quanto varrà il contratto a scadenza (payoff atteso), quanto sei disposto a pagare oggi (valore attuale del payoff atteso)?”.

Quindi hai due problemi: calcolare il valore atteso del contratto a scadenza ed attualizzare questo valore atteso ad oggi (istante in cui valuti il prezzo teorico). Il primo problema implica il dover trovare le probabilità da associare ai diversi possibili eventi che si possono verificare (nel tuo caso 2 eventi: prezzo del sottostante 101 o 99); il secondo problema implica il dover trovare il giusto tasso d’interesse a cui scontare questa tua aspettativa.

Logica vorrebbe che si stimino, in qualche modo, le probabilità reali associate ai possibili eventi futuri e che si trovi il giusto tasso per lo sconto.
Esistono difficoltà su entrambi i fronti, ma soprattutto sul secondo perché la rischiosità è soggettiva.

La rischiosità di un’operazione può essere incorporata sia nelle probabilità associate agli eventi che nel tasso a cui sconti il tutto. Basti pensare ad un bond che paga 100 a scadenza. Se questo bond è emesso da un soggetto non a rischio default il valore atteso dello strumento è 100 (qualsiasi evento accada tu devi pesare questo 100 per la probabilità reale di accadimento, ma qualsiasi sia l’evento tu hai sempre 100 quindi sostanzialmente 100 è anche il tuo valore atteso). Per conoscere il prezzo devi portare ad oggi questo valore atteso. Quindi, prendi il 100 e lo attualizzi usando un giusto tasso d’interesse. In questo caso, il tasso giusto è il tasso risk free. Nel caso banale di tasso pari a 0%, il prezzo di un simile strumento non può che essere 100.
Se però introduci l’elemento rischio le cose cambiano un po’. Da un lato hai che i possibili payoff non saranno sempre 100 (avrai scenari di default o ristrutturazione che avranno una determinata probabilità di accadimento) e dall’altro il valore atteso non puoi più scontarlo al tasso risk free perché questa operazione è, per definizione, non risk free. Quindi questo non sarebbe il tasso giusto.

Come calcolare questo tasso? Eh, qui si apre un mondo. Ma c’è una strada molto utile che prevede un ragionamento di questo tipo. La rischiosità, come detto, è incorporata sia nelle probabilità che usi per calcolare l’aspettativa sia nel tasso che usi per scontare ad oggi. Dato un prezzo di un contratto rischioso, allora, puoi usare il tasso risk free per scontare ma trasferire il rischio (che non viene incorporato più nel tasso a cui sconti) dal tasso alle probabilità.

Un tasso d’interesse su un’operazione rischiosa ha due componenti: la componente risk free ed una componente aggiuntiva che puoi chiamare premio per il rischio (quindi ciò che chiedi in aggiunta al tasso privo di rischio per accollarti il rischio dell’operazione).

Le probabilità che finora abbiamo visto solo le probabilità reali dell’evento. Ad esempio, nel lancio di una monetina tu hai il 50% di probabilità reale di avere testa. Questa è una probabilità reale perché è il risultato della legge di probabilità che governa il fenomeno “lancio della monetina” nel mondo reale.
Ma se tu togli al tasso rischioso la sua componente di premio per il rischio, allora devi scaricare questo rischio su una qualche misura.

Se è chiaro che, dati i possibili payoff di un contratto rischioso, il prezzo è funzione delle probabilità reali che associ ai possibili eventi e del tasso rischioso che usi per scontare questo valore atteso, allora se tu anziché usare questo tasso rischioso (perché difficile da calcolare) volessi usare il tasso risk free, la rischiosità “remunerata” dal premio per il rischio viene scaricata sull’unica misura che puoi variare: le probabilità reali.
Quando queste probabilità reali sono chiamate ad incorporare anche la rischiosità associata al premio per il rischio, hai una nuova misura di probabilità che è sintetica, creata ad hoc per favorire il pricing del contratto. Non è quindi una misura reale perché non è il frutto di una legge di probabilità che governa il fenomeno nel mondo reale.
Pensa alla monetina. Hai un contratto che paga tra 1 periodo 1 se esce testa (con probabilità reale 50%) e 0 altrimenti (con probabilità reale 50%) e che ha un tasso rischioso del 10%. Il prezzo oggi lo puoi calcolare prendendo il valore attuale reale (0.5*1€ + 0.5*0€ à 0.5€) ed attualizzarlo ad oggi col tasso rischioso del 10%. Avresti quindi circa 0.45€ (= 0.5€ / (1 + 10%) ) e, diciamo, questo prezzo teorico è in linea con il prezzo di mercato. Ma se tu non conoscessi il tasso rischioso perché ti è difficile sapere a quanto ammonta il premio per il rischio? Come fai a prezzare il contratto?
Tu saprai sempre a quanto ammonta il tasso privo di rischio. Mettiamo sia il 3% (per cui nel nostro esempio deduci che il premio per il rischio sia del 7%). Qualunque metodo di pricing tu scelga il prezzo deve venire vicino a 0.45€. Se usassi il tasso privo di rischio (3%) visto che è l’unico che conosco, ma mantenessi uguali le probabilità (quindi continuerei ad usare le probabilità reali associate al lancio della monetina), avrei un prezzo pari a 0.49€ (= 0.5€ / (1 + 3%) ). Il prezzo è più alto perché abbiamo eliminato la componente di rischio che prima veniva remunerata dal premio per il rischio. Ma il contratto è rischioso per cui, se vogliamo continuare ad usare il tasso risk free per scontare (perché ci risulta conveniente farlo dal momento che ci evita di stimare il premio per il rischio) allora dobbiamo scaricare il rischio sulle probabilità! Abbandoniamo le probabilità reali e passiamo a quelle sintetiche (le uniche che contano nel tradizionale mondo del pricing). Il passaggio alla nuova misura lo risparmio considerato il fine informativo del mio messaggio ma, in questo semplice caso, avresti due nuove misure sintetiche associate ai due eventi. Uscirà testa con probabilità 46% (sebbene la probabilità reale fosse pari 50%) e croce con probabilità 54% (sebbene la probabilità reale fosse 50%). Con queste nuove probabilità posso calcolare il nuovo valore atteso: (0.46*1€ + 0.54*0€) = 0.46€.Questo valore atteso incorpora già tutta la rischiosità dell’operazione per cui il suo valore attuale lo posso calcolare usando il nostro tasso risk free: 3%.
Ottengo dunque il prezzo di 0.45€ (= 0.46€ / (1 + 3%) ).


Scusandomi per la lunghezza di questo messaggio, vengo al punto. Tu hai due possibili payoff: 1 (con probabilità 60%) e 0 (con probabilità 40%). Il valore atteso è 1*0.6 + 0*0.4 = 0.6€. Avendo un tasso rischioso pari a 0% (quindi 0% è la somma del tasso risk free pari a 0% e del premio per il rischio pari a 0%), le probabilità reali coincidono con quelle sintetiche per cui quello è esattamente il payoff atteso che avresti anche nel mondo sintetico. Dato il tasso risk free a 0%, 0.6€ sarà allora anche il prezzo da pagare oggi per questo contratto.

 

[tucciotrader]

La morale mi sebra di capire sia che questo è solo un giochetto accademico ma il prezzo nella realtà sarà diverso...

 

[tucciotrader]

Nella soluzione data nel FOL non capisco una cosa

Compro mezza azione, quindi spendo 50 se S=101 allora vado a 50.5 ma devo 1 alla controparte quindi scendo a 49,5 se invece S=99 allora vado a 49,5 e perdo 0,5 sul capitale.

Ma in entrambi i casi ho incassato 0,6 quindi il tutto si compensa e porta a 0,10 il netto, quindi arbitraggio.

A che è servito ricorrere al borrowing nel frattempo, a garantire la Call mezza scoperta?

Allora perché non farsi prestare direttamente 50? Perché invece si fanno prestare 49,50?

 

[Imar]

La morale mi sebra di capire sia che questo è solo un giochetto accademico ma il prezzo nella realtà sarà diverso...

Assolutamente no.

La cosa è stata derubricata a giochetto accademico dalla signorilità di Skew, dopo che (su FOL) persone che tutti stimiamo molto per competenza opzionistica sono caduti a corpo morto nella trappola posta dal quesito (*).

In realtà, quesiti di questo genere (solo... molto più complessi) non si usano solo in ambito accademico, ma sono normalmente utilizzati dalle società finanziarie (in senso lato: gestioni, fondi, brokers) per selezionare i traders in opzioni. Espongo un altro esempio qui sotto, con l'avvertenza che ... qui non ci sono trappole e che qui il tempo medio di risposta di una persona mediamente preparata è sotto i 10 secondi

E - come ho detto in partenza - chi capisce l'essenza del quesito di Skew, ha capito quasi tutto del pricing in opzioni (deve solo estendere l'albero binomiale da 1 a N step, con N largo a piacere..... e capire che -concettualmente - il metodo binomiale è solo la traduzione nel discreto di BSM)

Purtroppo, caro Tuccio, dai tuoi interventi qui sopra sembra che tu preferisca incollare post (senza peraltro indicare l'autore, che sarebbe sempre opportuno) contradditori tra di loro ponendo sullo stesso piano quelli corretti e quelli sbagliati... per cui questo mio modesto intervento serve solo a ribadire - PER l'ULTIMA VOLTA - che

1) il punto non è sapere che la risposta 0.6 è SBAGLIATA ma capire il PERCHE';

2) è una banalità dire "tanto il prezzo lo fa il mercato": fa figo e non impegna, ma non ti aiuta se tu dovessi fare market making di quella opzione e dovessi decidere dove piazzare il BID e l'ASK.... oppure se dovessi giudicare se sono congrui il BID e l'ASK che ti offre il market maker.


(*) qui, semmai, la cosa interessante non è che non abbiano risposto.
Ribadisco: se si chiede una risposta quasi immediata (come succede nei test), la percentuale di risposte sbagliate supera il 99%.

Piuttosto -anche qui - la parte interessante è capire il PERCHE'.
A mio avviso (tralasciando chi non ha la minima idea di cosa si sta parlando, e concentrandosi su chi invece ha studiato seriamente la materia) il limite concettuale di chi ha "solo" una impostazione matematica è quello di considerare gli INPUT di un qualunque problema come assiomi.

 

[Cren]

A mio avviso (tralasciando chi non ha la minima idea di cosa si sta parlando, e concentrandosi su chi invece ha studiato seriamente la materia) il limite concettuale di chi ha "solo" una impostazione matematica è quello di considerare gli INPUT di un qualunque problema come assiomi.

La tua interpretazione è molto intelligente e condivisibile, direi che può spiegare l'alta percentuale di insuccessi nel rispondere a bruciapelo alla domanda di skew.

Secondo me, se in partenza fosse stata messa l'ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio e/o completezza dei mercati, la domanda avrebbe perso la sua apparente e illusoria semplicità ma avrebbe dato indizi sufficienti per riflettere sulla risposta.

Invece così ci siamo cascati (quasi) tutti, tranne te e l'ingegnere matematico, che però un poco pochino abbiamo aiutato

Io sono sempre più convinto che tutta la sofisticazione post binomiale svia l'attenzione del trader dai fondamentali delle opzioni, perchè ci si concentra troppo su aspetti statistici e computazionali dimenticando le leggi fondamentali di base.

 

[tucciotrader]

All'inizio non sapendo la risposta ed il ragionamento per arrivarci, mi sono fatto abbagliare da altre risposte di persone che reputo (reputavo?) molto preparate nell'ambito; consideravo il copia/incolla come un modo per discutere qui della loro motivazione alla risposta, mantenendo l'anonimato ed evitando links per evitare altre guerre tra forum, come le chiamate.

Sulla risposta di Skew non vi era bisogno di mettere il nome, perché l'utente bazzica sia qui che sul FOL...e lo conoscete tutti.

La motivazione alla fine l'ho capita ed è che prezzare 0,60 porterebbe ad arbitraggio, free lunch.

Oramai conosco la risposta anche all'altra domanda, ma non la motivazione e se posso ci aggiungo anche questa...

 

[Cren]

Oramai conosco la risposta anche all'altra domanda, ma non la motivazione e se posso ci aggiungo anche questa...

Secondo me devi studiare con più attenzione le basi.

Per esempio:

• per rispondere domanda allegata da Imar, hai mai sentito parlare di «square root rule»? Di cosa significa e del perchè è convenzionalmente ritenuta valida?
• Per rispondere alla domanda che hai pubblicato tu, ti è chiaro cosa è un'opzione e qual è il suo comportamento se il sottostante si muove?

In generale io uso questa regola: quando non so motivare le risposte a certe domande, vado a studiarmi (o a ripassarmi) la teoria che vi sta dietro.

Spesso si trascurano le basi.

 

[tucciotrader]

Una cosa, sulla domanda postata da me, ci si poteva arrivare a mente senza scomodare hoadley?

$4

 

[tucciotrader]

La «square root rule» sarebbe in pratica quella che mi fa stimare la vola annuale al 15,75% partendo da una vola daily di 1% (sqrt 248 trading days).

Quindi partendo da un opzione ATM 1YR che prezza $1 vuol dire che la ATM 2YR prezzera sqrt(2) = 1,41?