Non avete preso in considerazione quest'altra possibilità:
Supponiamo di avere una sbarra (per comodità) di lunghezza unitaria il cui raggio è trascurabile rispetto alla lunghezza, in modo da rendere il problema monodimensionale. Inoltre poniamo il termine di diffusione μ costante e unitario ed eliminiamo i termini riguardanti trasporto e reazioni interne, in modo da ridurre l'equazione nella forma
θ
t = θ
xx con θ cui verranno imposte opportune condizioni di regolarità. Impostiamo i valori al contorno in modo da tenere le due estremità della sbarra a temperatura costante. Fissando la distribuzione di temperatura iniziale abbiamo dunque il nostro problema ben definito:
Vogliamo fare uso del metodo di separazione delle variabili. Per fare questo proviamo a scrivere θ come prodotto di due funzioni, una dello spazio e una del tempo
θ(
x,
t) =
X(
x)
T(
t)
che inserita nell'equazione dà
avendo indicato con il "primo" la derivata (ordinaria) delle due funzioni rispetto alla loro variabile di definizione. Ora osserviamo che i due termini dell'uguaglianza sono funzioni di due variabili diverse; pertanto, l'unico modo affinché l'uguaglianza sussista per ogni
t e per ogni
x è che entrambi i termini siano uguali ad una costante, diciamo λ. Possiamo dunque generare due equazioni differenziali ordinarie per le due funzioni separatamente
T'(
t) = λ
T(
t)
che integrata dà immediatamente
T(
t) =
ceλ
t
Per la funzione spaziale abbiamo invece il problema ai limiti
Si vede facilmente che, per evitare soluzioni banali, deve essere λ = − μ2 < 0. A questo punto integrando l'equazione abbiamo
X(
x) =
c1
sin(μ
x) +
c2
cos(μ
x)
e le condizioni al bordo danno
c2 = 0,
c1 arbitrario e μ =
nπ
Mettendo insieme i pezzi possiamo ora dire che ogni funzione della forma
è formalmente soluzione dell'equazione di partenza. Tuttavia nessuna di esse soddisfa il dato iniziale. Sfuttiamo dunque la linearità dell'equazione e costruiamo una nuova soluzione sovrapponendo tutte le θ
n
La soluzione trovata col metodo di separazione delle variabili soddisfa il dato iniziale nel senso di
L2. Infatti se sviluppiamo il dato iniziale in serie di Fourier e poi poniamo i
cn della nostra soluzione uguali ai coefficienti dello sviluppo di Fourier del dato iniziale, otteniamo, grazie alla
disuguaglianza di Bessel, che
nel senso di
L2 per t che tende a zero. Infine per dimostrare che quella trovata è l'unica soluzione si può procedere col
metodo dell'energia: si moltiplica l'equazione per θ a destra e a sinistra e si integra per parti sul dominio spaziale, ottenendo
Dunque la quantità θ2(
x,
t), che è identificabile con l'energia del sistema, è positiva e decrescente. Se ora esistessero
u e
v entrambe soluzioni dell'equazione, allora, per linearità, anche
w =
u −
v sarebbe soluzione, con dati al bordo nulli e dato iniziale nullo. Ma allora per
w abbiamo che l'energia iniziale è nulla e, poiché abbiam detto che essa deve essere positiva e decrescente, concludiamo che in ogni istante di tempo
da cui
u =
v per ogni t e dunque la soluzione è unica.
mi aspettavo questa tua risposta..ogni riga..e virgola
