Ale, pero' se non mi usi il Lagrangiano, non consideri le onde spurie del battleplan ......
La
lagrangiana
di un
sistema dinamico è un
funzionale delle variabili dinamiche
che descrive concisamente le
equazioni del moto del sistema, che si ottengono attraverso il
principio di minima azione, scritto come
dove
, definisce l'
azione del sistema, con
che denota l'insieme dei suoi parametri dinamici.
Le equazioni del moto ottenute per mezzo della
derivata funzionale sono identiche alle usuali
equazioni di Eulero-Lagrange: un sistema dinamico le cui
equazioni del moto siano ottenibili applicando il principio di minima azione su una determinata lagrangiana è definito
sistema dinamico Lagrangiano. Esempi di tali sistemi dinamici vanno dalle
leggi del moto al
Modello standard, a problemi puramente
matematici come le
equazioni geodediche e il
problema di Plateau.
Un esempio dalla meccanica classica
Il concetto di Lagrangiana fu introdotto in origine in una riformulazione della meccanica classica nota come
meccanica lagrangiana: in questo contesto la lagrangiana è normalmente data dalla differenza fra l'
energia cinetica e l'
energia potenziale di un sistema meccanico.
Supponiamo di avere uno
spazio tridimensionale e la lagrangiana
Allora l'equazione di Eulero-Lagrange è
dove la
derivata rispetto al
tempo è scritta convenzionalmente come un punto sopra la quantità che viene derivata.
Sfruttando il risultato sopra, possiamo mostrare facilmente che l'approccio di Lagrange è equivalente a quello newtoniano, scrivendo la forza in termini di potenziale:
quindi l'equazione risultante è
esattamente la stessa equazione in un approccio newtoniano per un oggetto di
massa costante; una deduzione molto simile a questa ci dà l'espressione
che è la Seconda Legge di Newton nella sua forma generale.
Supponiamo, ora, di avere uno spazio tridimensionale espresso in
coordinate sferiche r,
θ,
φ; la forma della lagrangiana allora sarà
La corrispondente equazione di Eulero-Lagrange è:
Qui l'insieme di parametri dinamici
si sono ridotti al solo tempo
t, mentre le variabili dinamiche
φ(
s) sono le traiettorie
delle particelle scritte in coordinate polari.
[modifica] Lagrangiana e densità di Lagrangiana in teoria dei campi
In
teoria dei campi, viene fatta una distinzione tra la Lagrangiana
L il cui integrale nel tempo è l'azione
e la
densità di Lagrangiana
, il cui integrale su tutto lo
spazio tempo è l'azione
La Lagrangiana è quindi l'integrale spaziale della densità di Lagrangiana. Tuttavia
è spesso chiamata semplicemente Lagrangiana, specialmente nell'uso moderno; è molto utile in teorie
relativistiche poiché è un campo
scalare locale.
