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MISURE DI ASIMMETRIA ED APPIATTIMENTO
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Bisogna precisare che non esiste la simmetria perfetta, si tratta infatti di un concetto matematico puramente teorico; nella maggioranza dei parametri biologici abbiamo una distribuzione dei dati empirici che rientrano nella distribuzione asimmetrica.
Nelle distribuzioni unimodali asimmetriche agli assi questo non si verifica: infatti nessuna ordinata (y) divide in due parti simmetriche l'area della curva. E' bene chiarire il termine "simmetriche", infatti anche se la curva è campaniforme, e la mediana occupa il punto centrale della distribuzione, gli altri due parametri (media e moda) non coincidono con la mediana. Infatti, tanto maggiore è l'asimmetria, e tanto più grande risulterà la differenza fra moda e
mediana. Nelle curve asimmetriche, in base al lato (destro o sinistro) in cui cade più rapidamente la curva, abbiamo due diversi tipi di asimmetria:
- asimmetria sinistra o positiva: si ha quando, sull'asse delle ascisse, la curva presenta la sua coda più lunga che cade più rapidamente a sinistra. La mediana divide in due parti uguali l'area della curva. Alla sinistra della mediana, si trova la moda, se unica, mentre alla sua destra si trova la media.
- asimmetria destra o negativa: si ha quando, sull'asse delle ascisse, la curva presenta la sua coda più lunga che cade più rapidamente a destra. La mediana, come al solito, divide in due parti uguali l'area della curva. Alla destra della mediana si trova la moda; mentre alla sinistra della mediana si trova la media in quanto minore della mediana.
La forma di una curva a campana (sia essa normalmente distribuita o meno), oltre che dalla simmetria è caratterizzata anche da un maggiore o minore "appiattimento" nel senso delle ordinate che è definito curtosi. Ne consegue che, in relazione al tipo di "appiattimento", possiamo avere tre possibili tipi di "curve gaussiane":
a) mesocurtiche che risultano curve del tutto normali, con tutte le caratteristiche tipiche della curva gaussiana;
b) platicurtiche (o iponormali) che, rispetto alla curva gaussiana, risultano più appiattite;
c) leptocurtiche (o ipernormali) che, rispetto alla normale risultano più appuntite. Le caratteristiche di una distribuzione possono essere descritte da speciali indici di forma. Esistono delle misure (asimmetria e curtosi) che consentono di descrivere quanto i valori si distribuiscono intorno alla media. La distribuzione normale è simmetrica, ed ha un valore di asimmetria pari a zero. Una distribuzione con asimmetria positiva ha una coda a destra. Una distribuzione con una asimmetria negativa ha una coda a sinistra. L'asimmetria può essere usata assieme alla curtosi, per valutare se una variabile è distribuita normalmente.
Tali misure si ricavano calcolando i momenti intorno alla media. Definiamo:
asimmetria (Skewness):
curtosi (Kurtosis):
La skewness offre indicazioni sul grado di asimmetria, analogamente la curtosi offre indicazioni sul grado di appiattimento:
g3<0 : asimmetria negativa, più casi nella parte destra della distribuzione;
g3>0 : asimmetria positiva, più casi nella parte sinistra della distribuzione;
g4<0 : platicurtosi, cioè distribuzione eccessivamente appiattita;
g4>0 : leptocurtosi, cioè distribuzione eccessivamente alta.
E’ possibile eseguire un test di significatività, anche se approssimativo, considerando il coefficiente di asimmetria o curtosi significativamente diverso da zero se supera di 2,6 volte la sua deviazione standard, rigettando in tal caso l'ipotesi zero che i dati siano distribuiti normalmente.
Le deviazioni standard del coefficiente di asimmetria e curtosi sono calcolate rispettivamente come:
S3
S4
Questi sopra sono gli STIMATORI (o momenti del terzo e quarto ordine)
che li sono rappresentati con il cappello: diciamo che è una stima della devianza (che mi perdonino gli statistici ...se leggono
!!!!)
Avremo g1= m3/m2 indice di skewness che a seconda del risultato offre indicazioni sul grado di asimmetria, analogamente g2= m4/m3 indice di curtosi che a seconda del risultato offre indicazioni sul grado di piattezza.Una misura di quanto le osservazioni si trovino raggruppate nelle code. Per una distribuzione normale, il valore della statistica curtosi è pari a 0. Per campioni provenienti da una distribuzione normale, i valori di curtosi oscilleranno attorno allo zero. Se una variabile ha una curtosi negativa, la sua distribuzione ha meno concentrazione nelle code rispetto ad una distribuzione normale. Se una variabile ha una curtosi positiva, una porzione di casi più elevata è concentrata nelle code rispetto alla distribuzione normale.
, sempre disponibile e troppo modesto
