Programmazione Amibroker Tutorial: matrice di covarianza ibrida usando le volatilità implicite delle opzioni

[Paolo1956]

Parlo prima del secondo punto:

se esamino la figura prodotta da Cren, che riproduco in calce, vedo che il problema non ha in realtà 4 gradi di liberta (dal 2006 in poi), ma a voler essere magnanimi 2 o più verosimilmente 1, dato che il peso di DBLC rimane sempre molto piccolo.

Si poteva dal solo esame della matrice V-CV semplificare il problema?

Una volta escluse le variabili inessenziali, poiché ribilanciare costa, potrei passare da un portafoglio ottimale a uno sub-ottimale in cui sono comunque molto vicino al punto di minimo della varianza anche se con pesi piuttosto diversi?

 

[Cren]

Ciao, Paolo

Ti scrivo le mie considerazioni in merito alle tue osservazioni basandomi su altri back test che ho fatto.

- sotto quali condizioni un portafoglio di varianza minima è conveniente rispetto ad altri metodi?

Visti i rendimenti abbastanza contenuti se raffrontati a quelli dei classici trend follower con medie mobili et al., a mio avviso esistono due condizioni imprescindibili:

1. il tasso (ipoteticamente) risk free - per esempio un EURIBOR o un LIBOR di turno - deve essere sufficientemente basso da rendere attraente il rendimento medio annuo, come in questo periodo storico. Dal punto di vista analitico, la condizione serve ad avere uno Sharpe decoroso: in periodi storici con i tassi di mercato al 5 ~ 6% cosa te ne fai di un sistema che rende così poco all'anno?
2. Il paniere di sottostanti su cui si investe deve presentare una decorrelazione di natura fondamentale, non solo statistica. Quindi ben vengano portafogli con dentro asset class molto eterogenee, come quello che abbiamo provato. Viceversa, sono scettico nei confronti di TS a minima varianza che prendano, ad esempio, le 10 aziende a maggior capitalizzazione di un indice azionario... Quando si scenderà di brutto, tutto si correlerà all'improvviso e nel momento peggiore, vanificando ogni sforzo di bilanciamento.

- il problema del ribilanciamento va semplificato perché mi pare troppo oneroso in termini di costo e calcoli.

Tre soluzioni (eventualmente combinabili):

1. il solito & abusato passaggio al time frame superiore;
2. arrotondare la size al primo decimale, quindi si va avanti a multipli di 0.1;
3. eventualmente prima di applicare la 2., smorzare la size con un filtro passabasso.

A me la 1. non piace affatto perchè perdo troppa informazione e reattività; preferirei usare solo la 2. accoppiandola ad un criterio ad hoc per evitare di ribilanciare ogni settimana se ci si muove avanti e indietro attorno alla soglia.

 

[Paolo1956]

Sulla parte 1 ci ritorniamo.

Sulla 2: No.

Supponi di partire da N asset (N-1 gdl).
Tu costruisci la matrice VCV e da essa una forma quadratica nei pesi che devi minimizzare. OK?
La minimizzazione porta a un sistema la cui matrice ha probabilmente alcuni autovalori molto vicini a zero (o qualcosa di simile) e quindi alcune variabili possono essere eliminate.
Ti riduci a N-1-k gdl.

Posto questo, e costruito il portafoglio di minima varianza al tempo T, al tempo T+1 devi vedere:
a) Che le k variabili che hai escuso siano sempre da escludere.
b) Come ti sei mosso rispetto al punto ottimale. Perché potrebbe darsi che pur non essendo più sul punto di minima varianza, tu ci sia molto vicino, anche se i pesi attuali sono diversi abbastanza dai pesi ottimi. O viceversa.

In sostanza, secondo me, non dovresti ragionare sulla size vs. size ottima, ma su varianza vs varianza minima.

Per fare solo i bilnciamenti realmente necessari.

Penso, ad occhio.

 

[Paolo1956]

La forma quadratica è quella coppa, il punto ottimo è indicato con una freccia.

Se ti sei mosso lungo la linea verde è meno importante ribilanciare che se ti sei mosso lungo la rossa. a parità di differenza fra pesi attuali e pesi ideali.

 

[Cren]

La minimizzazione porta a un sistema la cui matrice ha probabilmente alcuni autovalori molto vicini a zero (o qualcosa di simile) e quindi alcune variabili possono essere eliminate.
Ti riduci a N-1-k gdl.

Bellissima osservazione, Paolo

Per ridurre la dimensionalità del problema è possibile usare solo le prime due o tre componenti principali (PC) dell'insieme degli asset: partendo dalla matrice delle covarianze vado a prendere i primi due o tre autovettori lungo cui la varianza è massima, in questo modo autovalori prossimi a zero e/o poco esplicativi della soluzione del sistema finiscono scartati da subito perchè il loro contributo alla varianza del sistema è molto basso.

Naturalmente questo procedimento va eseguito per ogni iterazione.

Il problema di questo procedimento, a parte le solite noie computazionali e i tempi, è che le PC così ottenute sono sicuramente decorrelate (la correlazione e la covarianza delle PC sono nulle per costruzione) ma è molto difficile riuscire a ricostruire il loro significato nella realtà.

In pratica temo che troveresti dei pesi ottimali per le PC, ma poi non saresti effettivamente in grado di "comprarle".

In realtà, mentre scrivo, rifletto sul fatto che i pesi delle PC li conosci, quindi sei in grado di ricostruirti ogni PC come combinazione lineare degli asset che hai in portafoglio.

Dopodichè trovi il peso ottimale di ogni combinazione lineare, e la replichi.

Ma potrebbe uscire qualcosa di ancora più oneroso da replicare.

Mi piace l'idea di lavorare sugli autovalori della matrice delle covarianze: cosa proponi?

 

[Paolo1956]

Lascia perdere i problemi delle simulazioni.

Se un autovalore è praticamente nullo oggi, lo sarà anche nei prossimi mesi, a meno di drammatici cambiamenti nella matrice delle correlazioni. Ma di questo probabilmente te ne accogi da questioni fondamentali: se Atlantia vende le concessioni e con i soldi ci acquista le banche, certo è tutto da rivedere.

In un sistema che guadagna poco è fondamentale operare poco, anche a costo di essere un po' meno efficienti.

 

[Paolo1956]

.....

Mi piace l'idea di lavorare sugli autovalori della matrice delle covarianze: cosa proponi?

Per ora non propongo nulla perché dovrei mettermi lì con carta e penna.
Quando ho un po' di tempo mi vado a rivedere la teoria......
Cren, sono passati 30 anni.........

Stasera ci penso un po'....

 

[Piedi a Terra]

Visti i rendimenti abbastanza contenuti se raffrontati a quelli dei classici trend follower con medie mobili et al., a mio avviso esistono due condizioni imprescindibili:

1. il tasso (ipoteticamente) risk free - per esempio un EURIBOR o un LIBOR di turno - deve essere sufficientemente basso da rendere attraente il rendimento medio annuo, come in questo periodo storico. Dal punto di vista analitico, la condizione serve ad avere uno Sharpe decoroso: in periodi storici con i tassi di mercato al 5 ~ 6% cosa te ne fai di un sistema che rende il 7% lordo all'anno?
2. Il paniere di sottostanti su cui si investe deve presentare una decorrelazione di natura fondamentale, non solo statistica. Quindi ben vengano portafogli con dentro asset class molto eterogenee, come quello che abbiamo provato. Viceversa, sono scettico nei confronti di TS a minima varianza che prendano, ad esempio, le 10 aziende a maggior capitalizzazione di un indice azionario... Quando si scenderà di brutto, tutto si correlerà all'improvviso e nel momento peggiore, vanificando ogni sforzo di bilanciamento.

1. il mio vecchio pallino e' ancora l'utilizzo dello z-spread per la valutazione di gestioni anche al di fuori del mondo obbligazionario

2. la scelta delle asset class in esame e' mutuata dalla gestione di soldi reali nel mondo accademico, le famose endowments. Posto che conveniamo entrambi sulla diversificazione di natura fondamentale che riteniamo migliore della diversificazione di natura statistica, capisco le obiezioni relative all'equity azionaria con i TS a minima varianza, anche se Natixis Ossiam le utilizza con successo, almeno fino ad ora.
Le mie perplessita' sorgono invece sull'approccio CVAR per asset che per definizione non possono fallire, cioe' le 5 asset class in esame.

Quindi la mia proposta e':
A) frontiera efficiente a minima varianza: buona per ETF decorrelati, che non sopportano il rischio di default classico per la loro diversificazione (solo il rischio di default dell'emittente in caso di utilizzo di swap sintetici, valutazione che comunque non siamo in grado di calcolare)
B) frontiera efficiente con CVAR: buona per 10 (100, mille, ..) asset class azionarie che sopportano il rischio di default classico

Che poi A e B portino nei backtest a dei risultati sostanzialmente simili e' comprensibile, ma almeno una distinzione nella premessa metodologica forse e' opportuna.

 

[Cren]

Se un autovalore è praticamente nullo oggi, lo sarà anche nei prossimi mesi, a meno di drammatici cambiamenti nella matrice delle correlazioni

Seguo il tuo procedimento.

Matrice di covarianza:

[COLOR=#000000][FONT=Lucida Console]                   SPX Index    MXE2 Index  USG4TR Index    FNAR Index DBLCMAVL Index 
SPX Index       7.261502e-04  5.840654e-04 -7.367534e-05  6.157266e-04   2.013076e-04 
MXE2 Index      5.840654e-04  7.623565e-04 -6.125821e-05  5.430733e-04   3.422356e-04 
USG4TR Index   -7.367534e-05 -6.125821e-05  7.870842e-05 -7.159916e-05  -3.288118e-05 
FNAR Index      6.157266e-04  5.430733e-04 -7.159916e-05  1.207488e-03   1.865375e-04 
DBLCMAVL Index  2.013076e-04  3.422356e-04 -3.288118e-05  1.865375e-04   1.026938e-03[/FONT][/COLOR]

Autovalori:

[COLOR=#000000][FONT=Lucida Console]2.236455e-03
9.334294e-04
4.180563e-04
1.436622e-04
7.003877e-05[/FONT][/COLOR]

Abbiamo un ordine di grandezza tra il primo e i successivi tre, mentre l'ultimo è di due ordini di grandezza inferiore al primo e quindi dovrebbe rispecchiare la tua definizione di «autovalore trascurabile».

 

[Paolo1956]

Se ben ricordo, per trovare i pesi costruisci una forma quadratica

w*VCV*w'

che poi minimizzi trovando un sistema nelle derivate parziali rispetto ai pesi.

Dovresti guardare la matrice di quel sistema. Ma sto andando a mente....