LA VOLATILITA'
Visto che è una delle variabili che genera maggior influenza sulle strategie con le opzioni ripropongo:
1. Un post di Pierrone sulla volatilità;
2. Una proposto operativa di Deltazero rispetto ai valori della volatilità, dove vengono trattati anche i time spread.
1. Il posto di Pierrone
Provo a rispondere al problema "che cos'è la volatilità implicita delle opzioni?" spesso di difficile comprensione per gli operatori che si avvicinano al mercato delle opzioni o dei covered warrant, spero che il mio post possa tornare ultile a chi vuole approfondire l'argomento su come vengono prezzate le opzioni. Premetto che posso dire anche qualche castroneria e nel caso fareste molto bene a farmele notare.
La volatilità storica si calcola con la classica formula matematica della deviazione standard, che è in pratica la media degli scarti tra rendimenti giornalieri e il rendimento medio giornaliero. Se per esempio si ha questa serie di rendimenti giornalieri:
-2%
+1%
-2%
+3%
si ottiene che il rendimento medio è 0 (-2+1-2+3)/4=0 (in realtà occorrerebbe considerare i rendimenti logaritmici, ma per semplicità uso quelli semplici).
Per ottenere la media degli scarti dalla media (deviazione standard) si fa un procedimento che serve a rendere tale valore sempre positivo: in pratica gli scarti li si elevano al quadrato in modo da essere tutti positivi, e poi dopo aver fatto la somma di tali valori (ottenendo la varianza) si fa la radice quadrata, che sarà anch'essa sempre positiva.
Si ottiene la varianza in questo modo:
[ (-0,02-0)^2 + (+0,01-0)^2 + (-0,02-0)^2 + (+0,03-0)^2 ] / 4 =
= (0,0004 + 0,0001 +0,0004 +0,0009 ) / 4 = 0,0018 / 4 = 0,00045
La deviazione standard è la radice della varianza, e quindi è pari a 0,0212, cioè al 2,12%.
In pratica possiamo dire che 2,12% è la volatilità storica di un campione di rendimenti giornalieri presi in 4 giorni borsirsici che hanno avuto quei rendimenti giornalieri.
Solitamente in realtà la volatilità storica si calcola per una serie storica più ampia di dati, in modo da essere più significativa e meno "volatile". Generalmente il campione che viene preso è tra gli ultimi 20 giorni (volatilità storica a breve) e gli ultimi 6 mesi, e si può per esempio decidere di sovrappesare nel calcolo gli ultimi giorni, perchè si vuole considerare essi come più significativi. (Pensa se calcolassi la volatilità a 6 mesi: i rendimenti della fine dell'inverno e dell'inizio di primavera abbasserebbero molto la volatilità, in quanto a quel tempo eravamo in trading range stretto, e poi giorno dopo giorno uscirebbero tali dati dal campione di 6 mesi e questo farebbe da solo alzare la volatilità storica anche se la borsa in questi giorni si comportasse ogni giorno nella stessa maniera.)
Adesso passiamo alla volatilità implicita che è un concetto completamente diverso, anche se usa lo stesso concetto statistico di deviazione standard.
In pratica Black & Scholes per il calcolo della loro formula di valutazione dei derivati ipotizzano che i rendimenti giornalieri del mercato che si sta considerando si distribuiscono secondo una distribuzione normale con rendimento medio r (tasso di interesse free risk) e deviazione standard §.
Cioè: si ipotizza che i rendimenti giornalieri del mercato si distribuiscano come una gaussiana. La gaussiana è famosa e importante nello studio della statistica, perché ha una caratteristica fondamentale: è definita da due soli valori, cioè la media e la deviazione standard. Che vuol dire? Vuol dire che se io so che i rendimenti giornalieri si distribuiscono come una gaussiana, con media m e deviazione standard §, io riesco a calcolare perfettamente, ad esempio, la probabilità che il rendimento di una certa giornata sia inferiore a un certo valore. Esempio: su alcuni libri si trova la tabella con la distribuzione normale standardizzata, cioè la distribuzione normale che ha media 0 e deviazione standard 1. Con una distribuzione di questo genere, puoi rispondere agevolmente per esempio a questo tipo di domande:
Qual è la probabilità che il rendimento di un giorno sia negativo? Ovviamente 50%
Qual è la probabilità che il rendimento giornaliero sia peggiore di –3%? Lo 0,14% (lo ricavi dalla tabella nei libri, da qualche calcolatrice o da una formula in excel.
Andiamo ora sul più pratico (si veda anche il grafico sotto): tanto maggiore è la deviazione standard in una normale tanto più “volatile” è la distribuzione dei rendimenti (la gaussiana è cioè molto “grassa”, e quindi rendimenti giornalieri molto negativi o molto positivi sono più probabili rispetto a quello che indicherebbe la normale standardizzata, o comunque una normale con stessa media e deviazione standard inferiore). Quindi per esempio la probabilità che un giorno si possa avere un ribasso peggiore del 3% è ben più alta dello 0,14%, e come ben sappiamo in borsa tale probabilità è infatti molto più alta).
Black e Scholes nella loro formula di valutazione dei derivati ipotizzano perciò che i rendimenti giornalieri del mercato si distribuiscano secondo una gaussiana con media r e deviazione standard § CHE DECIDEREMO NOI, o meglio CHE DECIDE IL MERCATO, anche, ma non solo, basandoci sull’andamento passato della volatilità che possiamo rilevare calcolandoci la volatilità storica.
Dire perciò che la volatilità implicita delle mibo a 4 mesi è del 24% significa questo: se approssimiamo che i rendimenti giornalieri si distribuiranno secondo una normale, con media r (tasso free risk da qui a scadenza) e deviazione standard 24% si può calcolare la probabilità che l’opzione vada in the money, e quindi si può calcolare anche il “giusto prezzo” dell’opzione tale per cui in media né il venditore né l’acquirente dell’opzione guadagnano (o meglio, il compratore in media riceve il free risk rate e il venditore paga in media il free risk rate). Se per esempio una certa call con prezzo 120 ha volatilità implicita 24% (ricavabile con la formula “inversa” della black e scholes), significa questo: se fosse vero che i rendimenti giornalieri si distribuissero come una normale, in particolare con media r e volatilità 24%, mediamente il possessore di questa call si troverebbe a scadenza un valore di 120*(1+r), quindi per non essere arbitraggiata l’opzione giustamente deve essere venduta a 120 (se invece di comprare l’opzione avessi investito i soldi al free risk a scadenza avresti avuto 120(1+r) ). Se provassimo infatti infinite volte di comprare oggi a 120 tale call, e andassimo a scadenza (col mercato che effettivamente si comporta come previsto dalla gaussiana con media r e volatilità 24%), mediamente ci troveremmo a scadenza 120(1+r), perché, per esempio (la faccio molto facile) l’80% delle volte l’opzione a scadenza non viene esercitata ma il 20% delle volte ci troviamo a scadenza che l’opzione viene esercitata a 600(1+r), quindi la media totale di quello che riceviamo a scadenza è 120(1+r).
Qualcuno potrebbe dire: “ma scusa, io preferirei certamente in tale caso non comprare l’opzione ma investire in titoli di stato che mi garantiscono sempre 120(1+r), cosa che invece l’opzione mi garantisce in media ma non sempre, facendomi rischiare l’80% delle volte di perdere tutti i soldi!”. La risposta a questo giusto dubbio è: hai ragione tu a preferire i titoli di stato rispetto a un investimento sull’opzione, ma questo non conta nulla per la valutazione dell’opzione (che il mio interlocutore acquisterebbe solo per un prezzo molto inferiore e quindi aspettandosi un rendimento più alto che compensi il maggior rischio che corre rispetto all’acquisto di titoli di stato) perché il rischio che si corre comprando l’opzione è annullato dalla possibilità che abbiamo di coprirci. Se infatti il mercato si comporta proprio secondo una normale con media r e volatilità 24%, e se si copre il possesso dell’opzione detenendo in ogni momento una posizione sul sottostante in misura pari a –DELTA (calcolato secondo la black e scholes, che varia in ogni istante al variare dei vari fattori di mercato, e che perciò ci costringe a piccoli aggiustamenti in ogni momento sulla posizione sul sottostante [delta hedging] ) noi otteniamo un rendimento sul capitale impiegato per tutta la posizione (opzione e sottostante) pari al tasso free risk qualsiasi cosa succeda. Ragion per cui è giusto che l’opzione non valga un prezzo inferiore per compensare il detentore con un rendimento che compensi il maggior rischio che si corre, in quanto se vuole il detentore può benissimo comprare l’opzione e costruirsi una posizione priva di rischio, sulla quale è giusto che ottenga non più del rendimento free risk.
Quindi la volatilità implicita è un valore che racchiude in se delle ipotesi molto forti e irreali sull’andamento futuro del mercato (è ovvio che la borsa non si distribuisce secondo una normale), ma occorre vedere anche se tali ipotesi sono oltre che irreali anche irrealistiche.
Per esempio, possiamo osservare che la distribuzione dei rendimenti delle borse non ha proprio la forma di una perfetta normale, bensì la curva di tali rendimenti effettivi “ha una coda sinistra molto più lunga e spessa rispetto alla coda destra”. Cosa vuol dire ? Vuol dire che in realtà è più alta la probabilità che una borsa crolli un giorno del 6% rispetto alla probabilità che la borsa aumenti del 6%. Viceversa è più probabile che una borsa aumenti dello 0,5% rispetto a che diminuisca dello 0,5%. Queste caratteristiche che distinguono i mercati azionari dall’avere una distribuzione dei rendimenti perfettamente normale impongono gli operatori in opzioni di “correggere” i parametri usati per la valutazione delle opzioni. Ma siccome l’unico dato “arbitrario” che serve per applicare la formula di black e scholes è la volatilità implicita (il valore del sottostante lo conosciamo, il tasso free risk lo conosciamo, lo strike lo conosciamo, il tempo alla scadenza lo conosciamo….), è su tale valore che si “scaricheranno” tutte le correzioni che gli operatori fanno per correggere i limiti della formula di black e scholes. Per esempio: gli operatori sono concordi che la volatilità futura del mercato sarà del 20%, ma sono anche concordi che i rendimenti non si distribuiranno secondo una normale ma secondo una curva simile a una normale ma con la coda sinistra allungata (cioè le probabilità di rendimenti molto negativi è più alta di quanto indicherebbe una distribuzione normale). L’acquirente di una put accetterà perciò di comprare una put anche con una volatilità implicita superiore a 20%, perché sa che la probabilità di crolli del mercato è più alta di quanto direbbe una distribuzione normale con vola al 20%. E il venditore della put accetterà di vendere tale put solo per un prezzo che sia determinato applicando una volatilità implicita superiore al 20%, perché se invece la put fosse venduta con una vola implicita del 20% sa che lui mediamente perderebbe soldi in quanto il mercato ha in realtà rendimenti molto negativi con più probabilità di quanto direbbe una distribuzione normale con vola 20%.
Ecco perché la formula di Black e scholes pur con i limiti (nelle ipotesi fatte che sono troppo forti e irreali) può benissimo essere applicata per valutare le opzioni: è molto semplice da usare, con un solo parametro (la volatilità implicita) non osservabile sul mercato; l’importante è conoscerne i limiti e correggere nella valutazione dei prezzi tali ipotesi troppo forti, scaricando sul valore della volatilità implicita tale correzioni.
Altro esempio: gli operatori sanno che è molto più probabile che il mercato si muovi in una direzione ben precisa per poco tempo rispetto al caso in cui si considera un andamento della stessa forza per un periodo di tempo più lungo (cioè: è più probabile che il mercato faccia il 10% in un mese rispetto alla probabilità che faccia il 60% in 6 mesi). Il mercato correggerà tale distorsione in questo modo: valuteranno le opzioni applicando una volatilità implicita più alta per le opzioni con scadenza a breve termine rispetto alla volatilità implicita applicata alle opzioni con scadenza a lungo termine. Se però ci si trovasse in un periodo estremamente piatto, per cui le opzioni con volatilità a breve sono valutate con volatilità a breve estremamente bassa in quanto nessuno si aspetta a breve forti movimenti, gli operatori potrebbero pensare che questo piattume non durererà molto a lungo, per cui le opzioni con scadenza a lungo termine saranno valutate con volatilità implicita più alta rispetto a quella a breve. In questo momento io che sono rialzista, visto che ci troviamo in un periodo di forte volatilità, non accetterei mai di pagare una volatilità implicita su una call a 6 mesi uguale alla volatilità implicita delle call a un mese: preferirei senz’altro acquistare la call a un mese, ovviamente investendo meno e tenendomi i soldi rimanenti nel cassetto pronto a ripetere l’operazione tra un mese, se la call scadrà out of the money, a investire altri soldi su call a breve. Solo se posso trovare call a lungo termine (come in effetti accade) con volatilità ben più bassa di quelle a breve accetterò di prendere in considerazione tali opzioni a lungo termine. Tale differenze di volatilità implicite per diverse scadenze determinano la struttura a scadenza della volatilità implicita.
Ultimo esempio: sappiamo che il mercato in realtà si muove non indipendentemente dal suo passato (come invece ipotizzano black e scholes): la probabilità che il mercato da qui a 6 mesi mi faccia un rialzo del 40% è più alta oggi (dopo il crollo delle borse), rispetto al caso in cui venissimo da un passato di forti rialzi. Il mercato corregge tale “dimenticanza” di black e scholes attraverso il volatility smiles, che generalmente ha un andamento “triste” anziché “sorridente”: all’aumentare dello strike gli operatori si incontrano su livelli di volatilità implicita più bassi rispetto a quelli su cui si incontrano per strike meno out of the money: è “più facile di quanto direbbe la distribuzione normale” che il mercato faccia da oggi a scadenza il 20% (facendo per esempio andare in the money un’opzione con strike del 15% più alto del prezzo del sottostante odierno) rispetto a che il mercato, nello stesso periodo faccia un rialzo del 20% due volte (facendo per esempio andare in the money un’opzione con strike del 35% più alto del prezzo del sottostante odierno). Gli operatori correggeranno questa imperfezione della black e scholes scambiandosi solitamente l’opzione con strike più alto (nell’esempio quella con strike del 35% out of money) applicando una volatilità inferiore rispetto a quella con cui scambiano l’opzione con strike più basso (nell’esempio quella con strike del 15% out of money). Queste distinzioni delle volatilità implicite a seconda della lontananza dello strike (a parità di scadenza), prendono il nome di “volatility smile”.
